【公式導出シリーズ】商の微分の公式を導こう YouTube

目次 1 1 ： 積の微分と商の微分とその証明 2 2 ： xn x n (( n n は整数)) の微分とその証明 3 3 ： 例題と練習問題. B! ここでは、商の微分の公式を 微分の定義 に従って導出します。 公式の形も導出の過程も複雑ですが、頻出の知識ですのでしっかり身につけておきましょう。 商の微分の公式 {f (x) g (x)} ‘ = f ′ (x) g (x) − f (x) g ′ (x) {g (x)} 2

微分積分学における商の法則（しょうのほうそく、英: quotient rule）は二つの可微分函数の比（商）となっている函数の導函数の計算を述べるものである。

主張

具体的に g, h はともに可微分で h(x) ≠ 0 として f(x) = g(x)/h(x) と書けば、この商 f の微分は

f
′

(
x
)
=

g
′

(
x
)
h
(
x
)
−
g
(
x
)

h
′

(
x
)

[
h
(
x
)

]

2

{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}

で与えられる。

例

1. f(x) ≔ tan(x) = sin(x)/cos(x) の導函数を求めるのに商の法則が利用できる:

   d

   d
   x

   tan
   ⁡
   x

   =

   d

   d
   x

   sin
   ⁡
   x

   cos
   ⁡
   x

   =

   (

   d

   d
   x

   sin
   ⁡
   x
   )
   (
   cos
   ⁡
   x
   )
   −
   (
   sin
   ⁡
   x
   )
   (

   d

   d
   x

   cos
   ⁡
   x
   )

   cos

   2

   ⁡
   x

   =

   cos

   2

   ⁡
   x
   +

   sin

   2

   ⁡
   x

   cos

   2

   ⁡
   x

   =

   1

   cos

   2

   ⁡
   x

   =

   sec

   2

   ⁡
   x
   .

   {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}{\frac {\sin x}{\cos x}}\\&={\frac {({\frac {d}{dx}}\sin x)(\cos x)-(\sin x)({\frac {d}{dx}}\cos x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}}

高階版

陰函数微分を用いれば、商の n-階微分も（(n −1)-階までの導函数を用いて）計算することができる。例えば、f⋅h = g を両辺二回微分して f″ について解けば

f
″

=

(

g
h

)

″

=

g
″

−
2

f
′

h
′

−
f

h
″

h

{\displaystyle f”=\left({\frac {g}{h}}\right)”={\frac {g”-2f’h’-fh”}{h}}}

を得る。

関連項目

• 微分積分学の基本定理
• 解析学
• 積の微分法則

参考文献

商の微分法（数III）[今週の定理・公式No.23] YouTube

分数関数の微分のやり方（商の微分公式）を誰でもわかるように解説 HEADBOOST

微分 テキスト 数学の標

積の微分、商の微分について YouTube

【数Ⅲ微分3】商の導関数の導出【難易度★★★★】 YouTube

Haruka先生の数学証明シリーズ 積、商の微分 YouTube

高校数学 数学Ⅲ 商の微分公式の証明 YouTube

04 商の微分法と公式の証明

微分法（数学Ⅲ）公式 大学受験の王道

【高校数学Ⅲ】微分の3本柱②：商の微分法とその公式の証明 受験の月

【高校数学】数Ⅲ 商の微分法【高校数学】 YouTube

【芝浦工業大学/2021】商の微分法及び合成関数の微分法の練習：f(x)=sin(logx)+cos(logx)/x【数学Ⅲ】 YouTube

商の微分公式【1分数学】 ニコニコ動画

分数関数の微分のやり方（商の微分公式）を誰でもわかるように解説 HEADBOOST

【高校数学Ⅲ】商の微分法①（導入） YouTube

〔数Ⅲ・微分法〕商の導関数 －オンライン無料塾「ターンナップ」－ YouTube

数学Ⅲ㉑ いよいよ微分…導関数・積と商の公式 60ばーばの手習い帳 楽天ブログ

積と商の微分 YouTube

数学Ⅲ㉑ いよいよ微分…導関数・積と商の公式 60ばーばの手習い帳 楽天ブログ

【数Ⅲ】微分の公式 積・商・合成関数の微分【中身と外側を区別しよう】｜mei

積の微分の公式 関数 f(x) f (x) と g(x) g (x) が区間 A A において 微分可能 であるとき、 積 f(x)g(x) f (x) g (x) もまたその区間で微分可能であり、 が成り立つ。. 商の微分公式 {f (x) g (x)} ′ = f ′ (x) g (x) f (x) g ′ (x) {g (x)} 2 {g(x)f (x)}′ = {g(x)}2f ′(x)g(x)− f (x)g′(x) 商の微分公式について，問題・覚え方・証明をわかりやすく説明します。